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著名的纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程可能导致出现多个扬弃的情况，但仅限于少量数情况。

一个涡环（vortex ring）被用来解释新的扬弃。

作家：Leila Sloman 2022-5-2 译者：zzllrr小乐 2022-5-2

近两个世纪以来，各式对流体若何流动感敬爱敬爱的商议东谈主员齐转向了纳维-斯托克斯方程。然则数学家仍然对它们存有基本的疑问。其中最蹙迫的是：方程与现实的吻合进程若何？

行将出咫尺《数学年鉴》上的一篇新论文减轻了这个问题，解释了也曾有但愿的一类解不错包含违抗物理学的矛盾。这一发达是朝着透露纳维-斯托克斯与物理寰球之间的各别迈出的又一步——这是数学最著名的绽开问题之一的谜题。

“这绝顶令东谈主印象深远，”巴黎高级师范学院和巴黎城市大学的数学家Isabelle Gallagher说。“我的情理是，这是你第一次信得过领有 [这些] 不是唯独无二的解。”

流体本色上难以态状，因为它们的组因素子不会看成一个举座挪动。商量到这一丝，纳维-斯托克斯方程使用“速率场”（velocity fields）来态状流体，该“速率场”指定三维空间中每个点的速率和标的。这些方程态状了肇端速率场若何随时候演变。

数学家思要报告的大问题：对于淘气远处异日的任何肇端速率场，纳维-斯托克斯方程是否老是灵验？这个问题被觉得绝顶蹙迫，甚至于克莱数学商议所将其看成他们著名的千禧年奖问题之一的主题，每个千禧年问题齐有 100 万好意思元的奖金。

绝顶地，数学家思知谈一个脱手是光滑的解 - 这意味着它的速率场不会从一个近邻的点一霎变化到另一个 - 是否会长期保执光滑。一段时候后，可能会出当代表无尽速率的机敏尖峰。这种被数学家称为爆破（blow-up）的扬弃会偏离现实生计中流体的行动。要得回 100 万好意思元的奖金，数学家必须要么解释爆破永远不会发生，要么找到它发生的例子。

即使方程不错爆破，也许不是通盘的齐丢失了。第二个问题是，爆破的流体是否会长期以明确的、可预计的神色流动。更准确地说：不管驱动条目若何，纳维-斯托克斯方程是否惟有一个解？

这种被称为特有性的特征是普林斯顿高级商议院（IAS）的Dallas Albritton和Elia Bruè以及瑞士洛桑联邦理工学院的Maria Colombo的新论文的主题。

非量子寰球以这种神色运作。物理定律决定了一个系统若何从一个时刻进化到下一个时刻，莫得瞎猜或赶快性的余步。如若 纳维-斯托克斯方程果然不错态状现实生计中的流体，那么它们的解应该罢职调换的规定。“如若你莫得特有性，那么这个模子[可能] 是不完好的，”明尼苏达大学教化、Albritton 的博士生导师Vladimír Šverák说。“根底不行能像东谈主们思象的那样用纳维-斯托克斯方程来态状流体。”

1934 年，数学家让·勒雷（Jean Leray）发现了一类新颖的解。这些解可能会爆破，但仅仅一丝点。（从期间上讲，部分速率场变得无尽，但流体的总能量仍然是有限的。）Leray 简略解释他的非光滑解不错无尽期地不绝下去。如若这些解亦然唯独无二的，那么它们不错匡助透露爆破后会发生什么。

关联词，这篇新论文有令东谈主消沉的音问。这三位作家标明，一个 Leray 起程点不错与两个截然相背的扬弃一致，这意味着他们与现实的预计比商议东谈主员但愿的要弱。

数学家怀疑这与 Leray 解关系，何况在以前几年中，笔据不停聚集。纽约大学库朗商议所教化Vlad Vicol说，新扬弃“在某种进程上是最蹙迫的” 。

Albritton、Bruè 和 Colombo 在 2020 年秋季加入 IAS（普林斯顿高级商议院） 的一个商议小组时进入了这个边界。该小组的目的是阅读数学家Misha Vishik于 2018 年在网上发布的两篇 论文。天然最受迎接的谜底是对于三维空间中的纳维-斯托克斯方程，但也存在二维版块的方程。Vishik 还是解释，非唯一性出咫尺这些二维方程的修改版块中。

关联词，在Vishik发表论文两年后，他的使命细节仍然难以透露。七东谈主商议小组按时大致六个月开一次会，以商论说文。“咱们通盘东谈主齐作念出了孝敬，咱们简略看到发生了什么，”Albritton 说。

Vishik 的解释使用了外力。在现实寰球中，力可能是由于飞溅、风或其他任何简略篡改流体轨迹的因素。但Vishik的力是一种数学结构。它并不光滑，也不代表任何特定的物理经由。

有了这种力，Vishik 简略找到二维方程的两个不同解。他的解基于旋涡状流动。

“它本色上是创造一种流体流动，让你四处旋转，”Albritton 说。

Albritton和Colombo——自后 Bruè加入——透露到他们也不错使用Vishik的旋涡看成三维的两种不同解的基础。

“该战略试验上绝顶具有翻新性，”Vicol 说，Albritton 在纽约大学作念博士后商议期间他为 Albritton 提供了提议。

为了解释非唯一性，三位作家为三维方程构建了一个环形的“涡环”（vortex ring）解。最先，它们的流体十足静止，但有一种力鼓励它通达。这股力，和Vishik的相似，不是光滑的，保证了涡环也不会光滑。当流体得回动量时，它会沿着涡流流动，在圆环孔中盘旋，然后在外面回流。

然后作家标明，这种涡环解不错退化为不同的解。

后果就像是把石头扔进湖里。时时，你会看到一些波在短时候内隐没。这些波在 纳维-斯托克斯方程中涌现为添加到速率场的“扰动”。你不错通过或多或少地轻轻地放下石头来惩处这种扰动的大小。如若你从连合水面的位置绝顶留意肠放下它，它可能确凿不会影响到湖面。

然则，如若你在 Albritton、Bruè 和 Colombo 创造的水流中参加一块石头，扰动就永远不会消逝。即使你将石头从零高度落下，那聊胜于无的侵犯也会发展成更可怕的东西。这从调换的驱动条目创建了第二个不同的解。

“你有一个解，制造一个无尽小的侵犯，而不是制造一个有限的侵犯，”Albritton 说。“然后，解立即被土崩理解。”

新论文并未明确证实 Leray 解是否唯独无二。它的论断依赖于一种特意为使非唯一性发生而野心的外力。数学家更舒服十足幸免添加力，并解释某些驱动条目会导致非唯一性，而不受任何外部影响。这个问题咫尺也许离谜底更近了。

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